这个问题可以通过观察绝对值内的零点来解决。每个绝对值内的数都是一个零点，当x在这些零点的某一侧时，绝对值内的表达式会取正或负值。

零点分别为x=0, x=2, x=3, x=4, x=5, x=6。

在这些零点中，|x|在x=0处改变符号，1/2|x-2|在x=2处改变符号，|x-3|在x=3处改变符号，1/3|x-4|在x=4处改变符号，|x-5|在x=5处改变符号，3|x-6|在x=6处改变符号。

为了使|x|+1/2|x-2|+|x-3|+1/3|x-4|+|x-5|+3|x-6|的值最小，x应该尽可能接近这些零点中的中间值，也就是(0+2+3+4+5+6)/6=7/2。

但是由于x必须是整数，所以x应该取最接近7/2的整数，即x=4。

将x=4代入原式，得到：

|x|+1/2|x-2|+|x-3|+1/3|x-4|+|x-5|+3|x-6|= |4|+1/2|4-2|+|4-3|+1/3|4-4|+|4-5|+3|4-6|= 4+1+1+0+1+6 = 13。

所以，|x|+1/2|x-2|+|x-3|+1/3|x-4|+|x-5|+3|x-6|的最小值为13。